F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:

Transkriptio

1 BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf() F { ˆf() } f(t) Kosinimuunnos ja käänteismuunnos: f(t)e it dt, (4) ˆf()e it d, (5) Sinimuunnos ja käänteismuunnos: ˆf c () f(t) cos tdt, (6) π f(t) ˆf c () cos td. (7) π Konvoluutio: ˆf s () f(t) sin tdt, (8) π f(t) ˆf s () sin td. (9) π { F {(f g)(t)} F Derivointi: } f(s)g(t s)ds F {f(t)}f {g(t)} () F { f (n)} (i) n F {f}. ()

2 . Osoitetaan, että cos x + sin x d f(x) π + kun x < kun x e x kun x > Nähdään, että integraali on jonkin funktion Fourier-integraali. Lasketaan f(x):n Fourier-integraali, ja jos saadaan sama integraali ja lisäksi yhtäsuuruus pätee myös epäjatkuvuuskohdassa x, yhtäsuuruus on osoitettu. Tapa : A() f(t) cos tdt [ e t π π eit + ] e it dt [ e ( +i)t + e (+i)t] dt / [ ] + i e( +i)t + ( + i) e (+i)t [( ( ) π ) ( + i +. )] + i ( + i) + ( + i) ( + i)( + i) B():n laskeminen etenee käytännössä samalla tavalla. Voidaan hypätä muutaman välivaiheen yli, sillä nähdään, että ainoastaan jälkimmäisessä integroitavassa eksponenttitermissä on eri etumerkki ja lisäksi koko lauseke täytyy jakaa i:llä: B() π... f(t) sin tdt π ( + i) ( + i) iπ( + i)( + i) e t [ i eit i e it ] dt i ( ) π +. A() ja B() oltaisiin voitu laskea myös osittaisintegroinnilla. Nyt f(x):n Fourier-integraali on sitä mitä pitääkin. f(x) π [A() cos x + B() sin x] dx [ ] cos x sin x dx π cos x + sin x + d.

3 Vielä tapaus x. Tarkistetaan tämä suoraan tekemällä sijoitus x Fourier-integraaliin: π + d π / arctan [ ] π π. Tämän olisi nähnyt myös siitä, että Fourier-integraalille pätee, että [ f( + ) f( ) ] [ ]. Tapa : Otetaan f(x):n Fourier-muunnos: ˆf() f(x)e ix dx e x e ix dx e (+i)x dx / ( ) ( + i) ( + i) e (+i)x ( + i). Nyt otetaan tästä Fourier-käänteismuunnos, jolloin saadaan funktio itse: f(x) Nyt huomataan, että ˆf()e ix d cos x + i sin x d + i ( + i) e ix d γ()d. Nyt γ( ) γ() γ()d Re γ()d. Re γ() [ ] cos x + i sin x cos x i sin x γ() + γ() + + i i (cos x + i sin x)( i) + (cos x i sin x)( + i) ( + i)( i) cos x + sin x. + 3

4 Siispä f(x) π cos x + sin x + d. Nämä kaksi tapaa laskea tämä havainnollistavat hyvin Fourier-integraalin ja Fourier-muunnosten välisen yhteyden. Eli ottamalla Fourier-muunnos reaalisesta funktiosta saadaan kompleksinen funktio, josta ottamalla Fourierkäänteismuunnos saadaan uudelleenjärjestelemällä ja yhdistämällä negatiiviset ja positiiviset osat reaalinen Fourier-integraali. Täysin vastaavasti Fourier-sarjojen kanssa kompleksisesta Fourier-sarjasta saatiin uudelleenjärjesteltyä reaalinen Fourier-sarja viime harjoituksissa.. Lasketaan funktion Fourier-kosinimuunnos { t kun < t < a f(t) muulloin a ˆf c () f(t) cos tdt t cos tdt π π a/ t a π sin t sin tdt a/ ( a sin a ) cos t π [ ( a sin a ) ( cos a + )] π [a sin a + cos a ]. π 3. Lasketaan funktion Fourier-muunnos a) Tapa : kun < t < f(t) kun < t < muulloin 4

5 ˆf() / f(t)e it dt [ i e it / i e it i [( e it ) ( e it )] i ( cos ). π e it dt ] e it dt i ( cos ) Tapa : Kirjoitetaan f(t) yksikköaskelfunktioiden avulla ja derivoidaan se (u (t) δ(t)): f(t) u(t + ) u(t) + u(t ), df(t) dt δ(t + ) δ(t) + δ(t ). Sitten hyödyntämällä derivointia, eli lauseketta (), saadaan, että ˆf() i ˆf () i [δ(t + ) δ(t) + δ(t )] e it dt i [ e i ( ) e i + e i ] i [ cos ] i ( cos ). π b) + t kun < t < g(t) t kun < t < muulloin Nyt selvästikin g (t) f(t), joten derivointia hyödyntäen (ks. lauseke ()) saadaan, että ĝ() i ˆf() ( cos ). π 5

6 4. Lasketaan funktion f(t) e at u(t) Fourier-muunnos. Nyt a:n on oltava positiivinen, sillä muutoin f(t) kun t. F { e at u(t) } / 5. Ratkaistaan differentiaaliyhtälö e at u(t)e it dt e (a+i)t dt (a + i) e (a+i)t (a + i), a. y (t) + ay(t) g(t), a >. Otetaan puolittain Fourier-muunnos: F {y (t)} + F {ay(t)} F {g(t)} if {y(t)} + af {y(t)} F {g(t)} F {y(t)} a + i F {g(t)} F { e at u(t) } F {g(t)}, missä käytettiin tehtävän 4 tulosta /(a + i):lle. Nyt voidaan käyttää konvoluutiota (), jolloin saadaan, että F {y(t)} F { e at u(t) g(t) } F {} y(t) e at u(t) g(t) t g(x)e a(t x) dx e at t g(x)e a(t x) u(t x)dx e ax g(x)dx. Konvoluutiohan on vaihdannainen, ja kun yllä kirjoitettiin konvoluutio auki, valittiin konvoluution kaavassa () esiintyvät f ja g näin päin, jotta saataisiin suoraan tehtäväpaperissa annettu tulos. Toisin päin valitessa se oltaisiin saatu muuttujanvaihdolla. 6. Skaalaus. Tutkitaan, että mitä tapahtuu funktion f(t) Fourier-muunnokselle, kun tehdään muunnos t at, eli funktiota puristetaan kokoon t-akselilla positiivisella kertoimella a: 6

7 F {f(at)} Suoritetaan muuttujanvaihto at t. Nyt t t a f(at)e it dt. dt dt dt dt a dt. Integrointirajat skaalautuvat myöskin, mutta eivät muutu, koska integrointi on :stä :ään. Jatketaan: F {f(at)} a ˆf f(t t i )e a ( a ), a >. a dt f(t )e i a t dt a Eli siis Fourier-sarjan taajuudet kasvavat (aallonpituudet pienenevät), mikä on intuitiivisesti selvää. 7